Énoncé

Soit $X$ ouvert et fermé de $\mathbb{R}^n$. Alors soit $X=\varnothing$ soit $X=\mathbb{R}^n$.

Preuve

Posons l'application caractéristique de $X$: $$ \begin{array}{l|rcl} \chi: & \mathbb{R}^n & \longrightarrow & { 0,1 } \ & x\in X & \longmapsto & 1 \ & x\notin X & \longmapsto & 0 \end{array} $$

Puisque $X$ est fermé, donc $\mathbb{R}^n\backslash X$ l'est également. Ainsi, pour tout $x\in \mathbb{R}^n$, il existe une boule contenant $x$ entièrement incluse soit dans $X$, soit dans $\mathbb{R}^n\backslash X$ (selon que $x\in X$ ou $X\in \mathbb{R}^n\backslash X$).
Sur cette boule, $\chi (x)$ est constante, donc continue en $x$.

Puisque ceci est vrai $\forall x\in X$, $\chi$ est continue sur $\mathbb{R}^n$.

L'image d'un connexe par arcs étant connexe par arcs, $\chi (\mathbb{R}^n) = {0}$ ou $\{1\}$, puisque ce sont les seuls connexes par arcs de ${ 0,1 }$.

• Si $\chi (\mathbb{R}^n) = {0}$, alors $X=\varnothing$.
• Si $\chi (\mathbb{R}^n) = {1}$, alors $X=\mathbb{R}^n$.