Énoncé

Soit $u \in \mathcal{O}(E)$, montrer que $u$ se décompose en produit de $r$ réflexions, où $r = \text{rg}(u - id)$.

Énoncé (png)

Correction

Correction 1/2 (png)
Correction 2/2 (png)

Énoncé

Soit $X$ ouvert et fermé de $\mathbb{R}^n$. Alors soit $X=\varnothing$ soit $X=\mathbb{R}^n$.

Preuve

Posons l'application caractéristique de $X$: $$ \begin{array}{l|rcl} \chi: & \mathbb{R}^n & \longrightarrow & { 0,1 } \ & x\in X & \longmapsto & 1 \ & x\notin X & \longmapsto & 0 \end{array} $$

Puisque $X …

Énoncé

Soit $(a_1,...,a_n)$ et $(b_1,...,b_n)$ $\in \mathbb{K}^n$, avec les $a_i$ distincts deux-à-deux.
Alors il existe un polynôme $Q\in \mathbb{K} [X]$ tel que $\forall i \in [|1,n|]$, $Q(a_i) = b_i$

Preuve

On introduit la famille des polynômes de Lagrange associée à la famille $(a_i …

Énoncés

Calculer les limites suivantes:

• Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n$

Corrigés

• $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n$

$\left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n = e^{n * ln \left( 1+ \frac{\lambda}{n …