Énoncés

Calculer les limites suivantes:

• Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n$

Corrigés

• $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n$

$\left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n = e^{n * ln \left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right) }$

On connait le développement limité de $ln$ au voisinage de 0: $ln (1+x) = x + o(x)$ .

Donc: $\left( 1+ \frac{\lambda}{n} \right)^n = e^{n* \left( \frac{\lambda}{n} + o\left( \frac{\lambda}{n}\right) \right) } = e^{\lambda} e^{ o(\lambda)} = e^{\lambda} e^{ o(1)} \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \fbox { $e^{\lambda} $ }$