Énoncé

Soit $(a_1,...,a_n)$ et $(b_1,...,b_n)$ $\in \mathbb{K}^n$, avec les $a_i$ distincts deux-à-deux.
Alors il existe un polynôme $Q\in \mathbb{K} [X]$ tel que $\forall i \in [|1,n|]$, $Q(a_i) = b_i$

Preuve

On introduit la famille des polynômes de Lagrange associée à la famille $(a_i)$: Pour $i\in [|1,n|]$,
$$\mathcal{L_i}(X) = \prod_{\underset{k\neq i}{k=1}}^n \frac{X-a_k}{a_i - a_k} $$ Elle est bien définie car les $a_i$ sont deux-à-deux disjoints.
Ensuite, remarquons que $\mathcal{L_i}(a_j) = \delta_{i,j}$. En effet, $$\mathcal{L_i}(a_i) = \prod_{\underset{k\neq i}{k=1}}^n \frac{a_i-a_k}{a_i - a_k} = 1 $$ et pour $j\neq i$, $$\mathcal{L_i}(a_j) = \prod_{\underset{k\neq i}{k=1}}^n \frac{a_j-a_k}{a_i - a_k} = \prod_{\underset{k\neq i,j }{k=1}}^n \frac{a_j-a_k}{a_i - a_k} \times \frac{a_j-a_j}{a_i - a_j} = 0$$

Utilisons maintenant cette famille pour construire notre polynôme $Q$. On pose $$ Q(X) = \sum_{i=0}^n b_i \mathcal{L_i}(X) $$ On a alors bien le résutat demandé, car le seul terme non nul de la somme de $Q(a_i)$ est $b_i$: $$ Q(a_i) = \sum_{j=0}^n b_j \mathcal{L_j}(a_i) = \sum_{j=0}^n b_j \delta_{i,j} = b_i$$